This section, as well as Section 16.10 through Section 16.12 , are in effect a continuation of Chapter 15 , introducing features of Lojban negation that require an understanding of prenexes and variables. In the examples below, “there is a Y” and the like must be understood as “there is at least one Y, possibly more” .

As explained in
Section 15.2
, the negation of a bridi is usually accomplished by inserting
* na*
at the beginning of the selbri:

mi | na | klama | le | zarci |

I | [false] | go-to | the | store. |

It is false that I go to the store. |
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I don't go to the store. |

The other form of bridi negation is expressed by using the compound cmavo
*naku*
in the prenex, which is identified and compounded by the lexer before looking at the sentence grammar. In Lojban grammar,
*naku*
is then treated like a sumti. In a prenex,
*naku*
means precisely the same thing as the logician's
“it is not the case that”
in a similar English context. (Outside of a prenex,
*naku*
is also grammatically treated as a single entity – the equivalent of a sumti – but does not have this exact meaning; we'll discuss these other situations in
Section 16.11
.)

To represent a bridi negation using a prenex, remove the
* na*
from before the selbri and place

naku | zo'u | la | .djan. | klama |

It-is-not-the-case-that | : | that-named | John | comes. |

It is false that: John comes. |

However,
*naku*
can appear at other points in the prenex as well. Compare

naku | de | zo'u | de | zutse |

It-is-not-the-case-that: | for-some-Y | : | Y | sits. |

It-is-false-that: | for-at-least-one-Y | : | Y | sits. |

It is false that something sits. |
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Nothing sits. |

with

su'ode | naku | zo'u | de | zutse |

For-at-least-one-Y, | it-is-false-that | : | Y | sits. |

There is something that doesn't sit. |

The relative position of negation and quantification terms within a prenex has a drastic effect on meaning. Starting without a negation, we can have:

roda | su'ode | zo'u | da | prami | de |

For-every-X, | there-is-a-Y, | such-that | X | loves | Y. |

Everybody loves at least one thing (each, not necessarily the same thing). |

or:

su'ode | roda | zo'u | da | prami | de |

There-is-a-Y, | such-that-for-each-X | : | X | loves | Y. |

There is at least one particular thing that is loved by everybody. |

The simplest form of bridi negation to interpret is one where the negation term is at the beginning of the prenex:

naku | roda | su'ode | zo'u | da | prami | de |

It-is-false-that: | for-every-X, | there-is-a-Y, | such-that: | X | loves | Y. |

It is false that: everybody loves at least one thing. |
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(At least) someone doesn't love anything. |

the negation of Example 16.61 , and

naku | su'ode | roda | zo'u | da | prami | de | |

It-is-false-that: | there-is-a-Y | such-that | for-each-X | : | X | loves | Y. |

It is false that: there is at least one thing that is loved by everybody. |
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There isn't any one thing that everybody loves. |

the negation of Example 16.62 .

The rules of formal logic require that, to move a negation boundary within a prenex, you must
“invert any quantifier”
that the negation boundary passes across. Inverting a quantifier means that any
* ro*
(all) is changed to

su'oda | naku | su'ode | zo'u | da | prami | de |

For-some-X, | it-is-false-that: | there-is-a-Y | such-that: | X | loves | Y. |

There is somebody who doesn't love anything. |

and:

rode | naku | roda | zo'u | da | prami | de |

For-every-Y, | it-is-false-that: | for-every-X | : | X | loves | Y. |

For each thing, it is not true that everybody loves it. |

Another movement of the negation boundary produces:

su'oda | rode | naku | zo'u | da | prami | de |

There-is-an-X | such-that-for-every-Y, | it-is-false-that | : | X | loves | Y. |

There is someone who, for each thing, doesn't love that thing. |

and

rode | su'oda | naku | zo'u | da | prami | de |

For-every-Y, | there-is-an-X, | such-that-it-is-false-that | : | X | loves | Y. |

For each thing there is someone who doesn't love it. |

Investigation will show that, indeed, each transformation preserves the meanings of Example 16.63 and Example 16.64 .

The quantifier
* no*
(meaning
“zero of”
) also involves a negation boundary. To transform a bridi containing a variable quantified with

noda | rode | zo'u | da | prami | de |

There-is-no-X, | for-every-Y, | such-that | X | loves | Y. |

Nobody loves everything. |

which is negated by:

naku | noda | rode | zo'u | da | prami | de |

It-is-false-that: | there-is-no-X-that, | for-every-Y | : | X | loves | Y. |

It is false that there is nobody who loves everything. |

We can simplify
Example 16.70
by transforming the prenex. To move the negation phrase within the prenex, we must first expand the
* no*
quantifier. Thus
“for no x”
means the same thing as
“it is false that for some x”
, and the corresponding Lojban

naku | naku | su'oda |

It-is-false-that | it-is-false-that | there-is-some-X-such-that |

…rode | zo'u | da | prami | de |

for-every-X | : | X | loves | Y |

It is false that it is false that: for an X, for every Y: X loves Y. |

Adjacent pairs of negation boundaries in the prenex can be dropped, so this means the same as:

su'oda | rode | zo'u | da | prami | de |

There-is-an-X-such-that, | for-every-Y | : | X | loves | Y. |

At least one person loves everything. |

which is clearly the desired contradiction of Example 16.69 .

The interactions between quantifiers and negation mean that you cannot eliminate double negatives that are not adjacent. You must first move the negation phrases so that they are adjacent, inverting any quantifiers they cross, and then the double negative can be eliminated.